A Equação de Bessel

Alberto Mesquita Filho
Integração II(5):101-6,1996

2ª. Parte

5 Fórmulas de recorrência das funções de Bessel

As fórmulas de recorrência das funções de Bessel são relações entre funções de Bessel de ordens diferentes. São extremamente úteis, possibilitando, por exemplo, que se expresse uma dada função J em termos de funções de Bessel de ordem mais baixa [8]; prestam-se também à redução de certas integrais que ocorrem na normalização das funções de Bessel [9].

A título de clareza, e com a finalidade de destacá-las, iremos numerá-las em algarismos romanos, conservando a numeração sequencial em algarismos arábicos para as demais equações. Nas demonstrações referentes às equações (I) e (II) serão feitas algumas restrições com respeito a . Apesar destas restrições, demonstra-se que (I) e (II) são válidas " ÎÂ. Chegaremos a essa generalização por outro método — a partir da função geratriz — a ser visto no próximo item.

I) Se :

Portanto:

• 
• (I)

 

II) Se - Z⁺:

 

Portanto:

• 
• (II)

 

III) Desenvolvendo o primeiro membro de (I), temos:

xJ'(x) + x^-1J(x) = xJ_-1(x).

Podemos dividir todos os termos por x^-1, tendo em vista que, de (1), x ¹ 0. Portanto:

• 
• (III)

 

IV) De maneira análoga, desenvolvendo o primeiro membro de (II) e a seguir dividindo todos os termos da equação resultante por x^--1:

x^- J'(x) + x^--1J(x) = - x^- J₊₁(x)

• 
• (IV)

 

V) Somando membro a membro (III) e (IV):

• 
• (V)

 

VI) Subtraindo membro a membro (IV) de (III):

• 
• (VI)

 

6 Função geratriz

Geratriz significa aquela que gera. Nesse contexto, mostraremos a seguir que

é função geratriz da função de Bessel de primeira espécie J_n(x) para n Z.

Desenvolvendo g(x,t) obtemos:

Seja então n tal que n = r - k. Nestas condições, r = k + n e n varia de - a + . Então:

Portanto:

• 
• (16)

 

Verificada a igualdade (16) podemos agora, a partir da mesma, demonstrar a validade das relações de recorrência (I) a (VI) para = n Z. E, com efeito, derivando (16) em relação a t e desenvolvendo a expressão resultante, temos:

Igualando os expoentes de t a n-1:

Portanto:

• 
• (VIa)

A expressão (VIa) corresponde à (VI) para Z.

Derivando (16) em relação a x:

Igualando os expoentes de t a n

Portanto:

• 
• (Va)

A expressão (Va) corresponde à (V) para Z.

As demais relações de recorrência derivam de (Va) e (VIa) da seguinte forma:

(Va) + (VIa) Þ (IIIa) ;

(VIa) - (Va) Þ (IVa) ;

(IIIa) x^n-1  Þ  xⁿJ_n-1(x) = nx^n-1J_n(x) + xⁿJ’_n(x)     Þ

• 
• (Ia)

(IVa) x^-n-1  Þ  -x^-nJ_n+1(x) = -nx^-n-1J_n(x) + x^-nJ’_n(x)     Þ

• 
• (IIa)

7 Ortogonalidade das Funções de Bessel

Sejam σ e μ dois autovalores da equação

Nestas condições, e conforme visto no item 4,

são soluções da equação (17) para os correspondentes autovalores (l = σ e l = μ, respectivamente). Podemos então escrever:

Multiplicando (19) por y₂ e (20) por y₁ e subtraindo membro a membro as equações (20) da (19), assim modificadas, temos:

x²(y₂y₁"- y₁y₂") + x(y₂y₁'- y₁y₂') = (μ² - σ²)x²y₁y₂

Dividindo por x e manipulando os termos, podemos escrever:

ou

Integrando (21) no intervalo [a,b]:

Dividindo por (μ² - σ²) e utilizando as igualdades (18):

Para a=0 e b=R, temos:

e para μ Þ σ a expressão fica:

Aplicando L’Hospital e a seguir multiplicando o numerador e o denominador do segundo membro da expressão por σ:

Mas J(σR) é solução da equação de Bessel

σ²R²y"(R) + σRy’(R) + (σ²R² - ²)y(R) = 0,

ou seja

Substituindo (24) em (23):

ou

Se σ, μ e R forem tais que as raízes n-ésima e m-ésima da função de Bessel de ordem igualem, respectivamente a α_n = σR e α_m= μR, as expressões (22) e (25) podem ser agrupadas numa única expressão:

conhecida como relação de ortogonalidade das funções de Bessel. De (26) observa-se que as funções e são ortogonais no intervalo [0,R]; ou então, as funções e são ortogonais em relação à função peso x.

* * * * *

Referências:

8. CHURCHILL, R.V., BROWN, J.W, (1987), Fourier Series and Boundary Value Problems, McGraw-Hill Book Company, New York.
9. PINSKY (1991), op. cit.

(*) δ_n,m = 0 se n ¹ m, e δ_n,m = 1 se n = m. Observar que se n ¹ m, a equação válida é a (22), e se n = m (ou μ Þ σ) recaímos na equação (25). Como estamos trabalhando com raízes, J(σR) = J(μR) = 0 em ambos os casos, o que nos leva facilmente à generalização expressa em (26).

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