O Espaço Curvo Euclidiano e a Relatividade Galileana
Alberto Mesquita Filho
Artigo apresentado na seção "Temas Livres"
do V Simpósio Multidisciplinar
da Universidade São Judas Tadeu
e publicado na revista Integração
Que a gravitação seja inata, inerente e essencial à matéria, de modo que um corpo possa atuar sobre outro a distância, através do vácuo, sem a mediação de mais nenhuma coisa, pela qual e através da qual sua ação e sua força fosse transportada de um até outro, é para mim absurdo tão grande, que acredito que homem algum que tenha em questões filosóficas competente faculdade de pensar possa cair nele.
Isaac Newton
Eventos simultâneos são aqueles que ocorrem ao mesmo tempo, podendo-se pensar na simultaneidade dos eventos em si ou então na simultaneidade de seus registros por um observador. Eventos que ocorrem simultaneamente podem manifestar-se, a um observador, em tempos diferentes, dependendo da posição espaço-temporal deste último; e eventos que manifestam-se simultaneamente podem ter ocorrido em tempos distintos.
Localidade, num senso estrito, significa a região ocupada por um objeto num dado instante, e será esta a conotação a ser adotada neste artigo. Num sentido mais amplo, a localidade engloba uma vizinhança.
Um objeto material manifesta-se a um observador através de várias de suas propriedades, via de regra associadas a eventos relacionados a sua estrutura. A manifestação a distância dá-se através da mediação por agentes nem sempre bem conhecidos. Um determinado evento pode manifestar-se a distância através da luz, de um campo gravitacional, de um campo elétrico, etc. Para objetos materiais extensos, os eventos podem ser pensados como agrupamentos de eventos menores ou, até mesmo, de eventos infinitesimais ou puntiformes. Como cada um desses microeventos ocorre, num dado instante, em localidades distintas, o registro dos mesmos por um observador, via de regra, não respeita as condições locais de simultaneidade. Por exemplo, a luz emitida simultaneamente por dois átomos de um mesmo objeto, pode atingir um mesmo observador em tempos distintos. Ou seja, a localidade dos agentes emissores em relação à localidade do agente receptor afeta o registro do caráter comparativo temporal (simultâneo ou não) pelo agente receptor.
Comumente ficamos cientes da existência de um objeto graças à luz por ele refletida ou emitida. Sob esse aspecto, o que vemos é, na realidade, a imagem de um passado recente e tanto mais próximo do presente quanto menor for a distância entre nós e o objeto considerado. Para objetos afastados, como o Sol, este tempo assume proporções mensuráveis. Diz-se, com frequência, que qualquer anomalia verificada na superfície do Sol somente é observada aqui na Terra após 8 minutos de sua ocorrência. A estrela mais próxima do sistema solar dista de nós mais de 4 anos-luz, o que significa dizer que a imagem que obtemos foi gerada há mais de 4 anos. E não é raro encontrarmos nos jornais notícias sobre o encontro de um novo quasar que existiu como tal há bilhões de anos, posto que hoje, se pudesse ser observado, mostrar-nos-ia uma realidade totalmente diferente.
Veremos neste artigo como levar em consideração este efeito de maneira a podermos continuar utilizando a geometria euclidiana em física, particularmente no estudo dos fenômenos em que observador e observado estão em movimento, um em relação ao outro.
2 — Localidade real e localidade virtual
Vamos considerar a observação de uma moeda através de um ponto situado no prolongamento de seu eixo principal (figura 1). Seja t o tempo que a luz emitida ou refletida pela moeda leva para atingir o olho do observador. Sendo c a velocidade da luz, o centro da moeda O dista do observador de um valor b = ct. Seja, ainda, b um valor astronômico, por exemplo, 1 ano-luz; e seja, finalmente, o diâmetro da moeda também igual a b = 1 ano-luz. Acompanhe o raciocínio que se segue observando a figura 1.
Figura 1: explicação no textoA borda da moeda está a uma distância b' > b do observador. Consequentemente, a imagem da moeda que chega ao observador sofre uma "distorção espaço-temporal"; ou seja, num mesmo instante o observador recebe informações sobre a moeda geradas em tempos diferentes e tanto mais atrasadas quando mais o ponto considerado estiver afastado do centro. Para o caso exemplificado o atraso é igual a 43 dias (Pitágoras). Se a moeda mantiver sua estrutura no decorrer do tempo e visto que observador e objeto estão em repouso, um em relação ao outro, este efeito não trará conseqüências observáveis. Do contrário, ocorrendo modificações estruturais, pode acontecer que a moeda jamais se nos mostre como realmente é. Podemos então falar na existência de uma localidade real, a traduzir a moeda como ela é no momento e local em que se encontra; e na existência de uma localidade virtual, relacionada a como a moeda se nos mostra a partir de locais que suas partes ocupam ou ocuparam no espaço porém numa disposição que jamais existiu e a retratar a superposição de imagens geradas em tempos diferentes.
Para que fique clara esta localidade virtual, imagine um caso extremo: o desaparecimento instantâneo e local, como que num passe de mágica, de toda a moeda. Durante um ano o observador não notará seu desaparecimento e, para todos os efeitos, seu universo não apresentará neste período nenhuma modificação local, nem mesmo no local onde aparentemente encontra-se a moeda. Após um ano, e durante 43 dias, ele irá ter a nítida sensação de que a moeda está se consumindo do centro para a periferia. A cada dia, sua captação da localidade será diferente e tão diferente da real a ponto de manifestar-se por imagens que jamais existiram em tempo algum (a moeda transformando-se num anel).
Direi então que a localidade virtual relaciona-se ao conjunto das propriedades manifestadas por um objeto a um observador, e passíveis de modificações, decorrentes, única e exclusivamente, de sua localização espaço-temporal em relação à localização espaço-temporal do observador. A moeda apresentada ocupa uma localidade real porém manifesta-se, em cada ponto do espaço, através de uma localidade aparente ou virtual.
3 — A localidade virtual e o movimento
Como enxergaríamos um objeto linear (uma haste) em repouso e perpendicular a nosso eixo principal de visão, caso estivéssemos viajando numa nave espacial e aproximando-nos do mesmo, como mostra a figura 2, a uma velocidade menor do que, porém da ordem de grandeza de, c = 300.000 km/s?
Figura 2: explicação no textoAparentemente não notaríamos deformação alguma do objeto, a não ser aquela devida a seu crescimento com a aproximação. Como também não teríamos condições de suspeitar, visualmente, sobre o seu formato na dimensão do plano da figura. Se ao invés de uma haste linear o objeto tivesse o formato de uma moeda observada de perfil, a imagem seria semelhante.
Qual seria, no entanto, a interpretação que um observador poderia dar a esta imagem ao saber que realmente trata-se de uma haste linear e que a nave espacial viaja, em sua direção, numa velocidade constante v próxima a c, por exemplo, v = 0,5c? Como vimos, a imagem não chega instantaneamente ao observador mas a informação que a transmite (luz) percorre a distância b, que separa o objeto do observador, numa velocidade c.
O ponto central O da haste, quando emitiu a imagem ora observada, estava a uma distância do observador maior do que b, ou seja, 1,5b. Isto é fácil de comprovar pois se a luz percorreu a distância b = ct, neste mesmo intervalo de tempo t o observador, a uma velocidade v = 0,5c, percorreu, no sentido oposto, a distância 0,5b (figura 2).
Utilizando argumentos da física clássica, e centrando a figura no observador, ou seja, assumindo o referencial do observador em repouso, a impressão que nos fica é a de que é a haste quem está se aproximando do observador. Deixando de lado os efeitos relativísticos da física moderna, relacionados a essa mudança de referencial, vejamos como a geometria euclidiana iria encarar o problema relativo não apenas ao ponto O mas também aos demais pontos da haste.
Se o ponto O, mostrado na figura 2, desenhado agora neste novo referencial (como se o movimento fosse da haste), ocupava no passado (quando emitiu sua imagem atual) a posição P, distanciada 0,5b de O (figura 3a), onde estarão, no mesmo esquema, os demais pontos da haste? Pensemos num ponto O' situado acima de O, e procuremos por sua imagem temporal P'. Ora, a imagem de O', para atingir o observador, percorre uma distância maior do que b; logo, a imagem que o observador tem de O' foi gerada num tempo anterior, ou seja, P' não ocupava o mesmo eixo vertical onde se encontra P. É fácil encontrar graficamente o ponto P' lembrando que no tempo t' em que a luz viajou a distância ct' de O' até o observador, este percorreu uma distância vt' = 0,5ct', o que no referencial atual representaria a movimentação do ponto P' para O' (figura 3a).
4 — O "espaço curvo" euclidiano
Os demais pontos-imagem P' da haste mostrada nas figuras 2 e 3 podem ser obtidos analiticamente. Seja então a = vt (figura 3a) a distância percorrida pelo observador no tempo t (a = vt representará, no referencial considerado para a construção da figura, o movimento da haste no tempo t). Os pontos de interesse para o estudo estão representados na figura 3b, juntamente com suas coordenadas cartesianas, assumindo-se o ponto O como a origem do sistema considerado.
Com o auxílio das figuras 3a e 3b, e utilizando a propriedade "distância de pontos", podemos escrever:
Esta é a equação da hipérbole com a/b = v/c. As propriedades da haste manifestam-se ao observador tal como se ela ocupasse a posição mostrada na figura 4 e contorcida, assumindo um formato hiperbólico (localidade virtual da haste para o observador, considerada no tempo t).
Figura 4: Deslocalização e deformação aparentes
de uma haste com o movimento do observador.Estudo semelhante, efetuado para um objeto esférico, demonstra que sua imagem assume a forma de um ovóide (figura 5).
Figura 5: Deslocalização e deformação aparentes de
uma esfera com o movimento do observador.
Assumindo a "comunicação" gravitacional entre os corpos processando-se à velocidade da luz, podemos utilizar o modelo hiperbólico proposto, com a/b = v/c, no estudo de problemas gravitacionais relacionados a corpos em movimentos de aproximação ou fuga.
Para a utilização da gravitação newtoniana, impõe-se a consideração do centro de massa aparente ou virtual (CMV). Devemos então determinar a localização virtual do objeto cujo campo queremos estudar e a seguir determinar o centro de massa virtual.
Pensemos, inicialmente, em pontos materiais, com o que livramo-nos das deformações mostradas nas figuras 4 e 5 (o centro de massa coincide com o objeto puntiforme, o mesmo acontecendo com seu ponto imagem). Seja b = f(t) a distância entre dois pontos materiais A e B, com A aproximando-se de B à velocidade v e B em repouso (figura 6a). Para calcularmos o CMV do objeto B, como fizemos nos itens anteriores, vamos considerar o referencial em que A está em repouso, com o que passamos para a figura 6b.
Figura 6: explicação no textoNeste caso, tanto B quanto seu CMV (representado um pouco acima por questão de clareza) deslocam-se para a esquerda e o CMV está sempre defasado e à direita da posição ocupada por B. A distância x entre B e CMV pode ser, a cada instante, calculada pela equação da hipérbole encontrada no item 4. Para o caso considerado temos y = 0 e, em valores absolutos, a equação simplifica-se para:
A distância do CMV em relação ao objeto A será, a cada instante:
Derivando em relação ao tempo e verificando que
em que s = vt é a equação horária de A no outro referencial, chegamos a:
O CMV viaja a uma velocidade superior a B, somente superpondo-se a B no exato momento que B e A se encontram, ou seja, a virtualidade se desfaz com a aproximação.
Para corpos extensos o processo é um pouco mais complicado, pois o centro de massa virtual nem sempre ocupa a posição onde localiza-se a imagem do centro de massa. As figuras 4 e 5, discutidas no item 4, representam dois casos em que o CMV está ligeiramente deslocado em relação à imagem do CM real. Conquanto o processo para a determinação do CMV, nesses casos, seja trabalhoso e variável de caso para caso, dependendo da geometria do corpo extenso e/ou de sua distribuição de massa, não é impossível, efetuando-se tais correções, adotar a simplificação proposta por Newton a valorizar a aplicação da mecânica dos pontos materiais no estudo dos corpos extensos. O importante é saber valorizar, em cada condição, qual ponto melhor representa a condição privilegiada de centro de massa.
Aberrações relacionadas ao efeito descrito talvez expliquem alguns fenômenos ainda não totalmente explicados pela física moderna como, por exemplo, as discrepâncias observadas na órbita de Mercúrio, bem como uma infinidade de questiúnculas mal definidas e relacionadas à natureza íntima da matéria.
6 — Relatividade e eletromagnetismo
Em contraste com a gravitação newtoniana, o eletromagnetismo foi arquitetado levando-se em conta a eletrodinâmica, o que transparece em duas de suas equações a incluírem o fator tempo (derivadas temporais). Lamentavelmente, e como foi demonstrado por EINSTEIN em 1905, a relatividade inerente à teoria de Maxwell era incompatível com a relatividade da física newtoniana.
Um dos aspectos fundamentais da relatividade eletromagnética relaciona-se ao potencial de Liénard e Wiechert descrito por estes autores, respectivamente, em 1898 e 1900. Este potencial relativístico —suposto o ideal para representar um ponto material eletricamente carregado e em movimento— adapta-se perfeitamente às correções hiperbólicas descritas no item 4, no que diz respeito à localização virtual de seu agente causal. Como explicar, então, as incompatibilidades entre a física newtoniana e o eletromagnetismo de Maxwell? Tais incompatibilidades surgem exatamente quando passamos do eletromagnetismo de pontos materiais para o eletromagnetismo de objetos macroscópicos. Nestes casos, para justificar os conceitos de carga macroscópica em movimento e/ou corrente elétrica da teoria de Maxwell, o potencial de Liénard e Wiechert, por si só, mostra-se insuficiente, devendo-se levar em consideração um vetor potencial magnético. De alguma forma existe uma incompatibilidade entre o ponto material eletricamente carregado (carga puntiforme) e a partícula elementar propriamente dita a entrar na constituição de cargas e correntes elétricas; e esta incompatibilidade manifesta-se quando levamos em consideração o movimento, ou seja, exatamente quando aparece o campo magnético, supostamente um efeito relativístico. A natureza diversa de integrando (partícula elementar, admitida como carga puntiforme) e integrado (carga elétrica ou corrente elétrica), gera consequências matematicamente desastrosas que somente se desfazem às custas dos artifícios relativísticos da física moderna, a corrigirem tais incongruências; e o preço pago pela introdução destes artifícios foi a descaracterização da física newtoniana, apontada por Einstein em seu artigo original (1905) e subsequentes.
Como mostrei em trabalho anterior (MESQUITA, 1993 e 1997), ao reduzirmos mentalmente o ângulo de observação de uma carga elétrica, esperando, com isso, focalizar seus constituintes elementares, chegaríamos, pela aceitação da teoria eletromagnética de Maxwell como é hoje interpretada, a conceber uma identidade estrutural entre as partículas (prótons ou elétrons) e a carga que as contém. Ora, porque aceitar este reducionismo ilusório e inerente à teoria de Maxwell —uma teoria feita para fluidos elétricos— se já está definitivamente comprovada a existência de partículas eletromagnéticas elementares dotadas de propriedades outras não encontradas nas cargas elétricas macroscópicas? Porque conservar a idéia de fluido ao se interpretar as equações de Maxwell?
Pensemos então no elétron como uma partícula dotada de um "spin" clássico, qual seja, um verdadeiro giro. Suponhamos que este elétron, ao se dispor na superfície plana da placa negativa de um condensador, mantenha seu eixo de giro perpendicular à superfície. Vamos admitir, ainda, um próton aproximando-se desta superfície com uma velocidade v da ordem de grandeza de c. Concluiremos então, pelos mesmos argumentos mostrados nos itens anteriores, que a superfície plana gera, sob o ponto de vista do próton, uma superfície virtual hiperbolóide. A posição ocupada pelos eletrons virtuais aí imaginados concorda com a transformação proposta por Liénard e Wiechert. Existe, no entanto, um efeito ainda não considerado e relacionado à imagem virtual do "spin" clássico, ou seja: Em que direção se disporá o eixo do "spin" do elétron virtual? Certamente será numa direção a compatibilizar a relatividade da física clássica com a relatividade do eletromagnetismo e a resposta deverá sujeitar-se à experimentação.
Em trabalho anterior (MESQUITA, 1996 e 1997), e utilizando argumentos relacionados a uma possível aberração direcional, e sem levar a efeito a superfície virtual aqui considerada, supus a identidade entre g e α (representados na figura 7). Poderíamos, utilizando argumentos outros, pensar num valor de g ligeiramente diferente de α e tal que o eixo do "spin" do elétron virtual disponha-se na direção perpendicular à superfície hiperbolóide. Vejamos qual seria, neste caso, o valor de g.
Figura 7: explicação no textoSeja então um elétron situado na posição (0, y1) da superfície plana representada, na figura 7, por um traço vertical passando por O (a superfície é perpendicular ao plano da figura); e um próton aproximando-se a grande velocidade (v = 0,5c) segundo uma direção perpendicular a esta superfície e passando pela origem O(0,0,0) do sistema de coordenadas considerado. O próton estará sujeito, num dado instante, ao campo do elétron virtual situado no ponto (x1, y1, 0) da superfície hiperbolóide, a interceptar o plano da figura segundo a hipérbole dada por
em que a/b = v/c conforme visto no item 4. A perpendicular à hipérbole no ponto considerado (x1, y1) é a reta dada pela equação:
e o ângulo g que esta reta forma com o eixo dos x, conforme representado na figura, é tal que
Como referido nos parágrafos anteriores, trata-se de um valor conjectural para g e a ser melhor estudado, tanto sob o ponto de vista teórico quanto experimental.
A geometria euclidiana admite uma curvatura do espaço desde que este espaço tenha um significado físico e não apenas matemático. Nos casos exemplificados o significado físico de espaço seria o daquele "ocupado" por um objeto visto através da realidade virtual inerente ao observador. É importante assinalar que não há deformação física real do objeto nem do espaço e sim uma superposição de imagens —ou reconstrução do objeto através de imagens— geradas em tempos diferentes. O "espaço matemático-curvo" da física moderna surgiu da necessidade de se corrigir certas incoerências verificadas, por exemplo, quando um elétron desloca-se, em velocidades "relativísticas", em direção a um objeto plano carregado positivamente (campo elétrico uniforme) e que, sob o ponto de vista da geometria euclidiana, e com as correções ora apresentadas, seria encarado pelo "elétron observador", como uma superfície hiperbolóide. Os efeitos físicos desta superfície carregada sobre o elétron (por ex., o campo elétrico) devem sujeitar-se a correções relativísticas clássicas e devidas a uma "curvatura num espaço euclidiano", o que via de regra não é feito, gerando desta forma interpretações relativísticas outras. Lamentavelmente, ao evoluir tomando por base uma teoria da relatividade unidimensional associada a outra, apoiada na idéia de fluidos elétricos, a física moderna destruiu a beleza da geometria euclidiana e ignorou a superposição de imagens geradas em tempos diferentes (ação a distância instantânea e não mediada), mesclando desta forma espaço e tempo num caldeirão condimentado com forte dose de misticismo.
- EINSTEIN, A. (1905): Sobre a eletrodinâmica dos corpos em movimento, in Textos fundamentais da física moderna, vol.1, O princípio da relatividade, Fund. Calouste Gulbenkian, Lisboa, 1958.
- MESQUITA F.°, A., 1993: A equação do elétron e o eletromagnetismo, Ed. Ateniense, São Paulo.
- MESQUITA F.°, A., 1996: Sobre a natureza físico-matemática do elétron, Integração II(4):26-30.
- MESQUITA F.°, A., 1997: The electron equation and electromagnetism, Integração III(11):286-304. (Este artigo em português)